Есть вероятность что ее. Решение. Умножение зависимых событий

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

Равновозможными.
Совместимыми.
Несовместимыми.
Противоположными (взаимоисключающими).
Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

Бубновая.
Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

ВЕРОЯТНОСТЬ - общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия

ЧТО ТАКОЕ ФИЛОСОФИЯ? - ’ЧТО ТАКОЕ ФИЛОСОФИЯ?’ (‘Qu est ce que la philosophie?’, Les Editions de Minuit, 1991) книга Делеза и Гваттари. По мысли авторов, обозначенной во Введении, ‘что такое философия’ это такой вопрос, который ‘задают, скрывая беспокойство, ближе к… …

ЧТО ТАКОЕ ФИЛОСОФИЯ? - (Qu est ce que la philosophie? , Les Editions de Minuit, 1991) книга Делеза и Гваттари. По мысли авторов, обозначенной во Введении, что такое философия это такой вопрос, который задают, скрывая беспокойство, ближе к полуночи, когда больше… … История Философии: Энциклопедия

Вероятность - математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. Как категория научного познания понятие «В.»… … Большая советская энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЬ - математическая числовая характеристика степени возможности появления к. л. определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. Как категория научного познания понятие В. отражает особый тип… … Математическая энциклопедия

Южные киты - ? Южные киты … Википедия

Клиника (телесериал) - Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Дмитрий Житомирский, генеральный директор и основатель «АРТКОМ СПб»

Закон Мерфи: «Если есть вероятность того, что какая-нибудь неприятность может случиться, то она обязательно произойдет»

Мерфи был оптимистом. В жизни каждого бывают периоды, когда все удается, но не волнуйтесь, это скоро пройдет! Ведь по закону Мерфи образование отрицательного результата никоим образом не зависит от наших чаяний, следовательно, расхлебывать все это нам все равно придется. Каким образом? В данном случае условия задачи можно выбрать самостоятельно. Если к подобной проблеме относиться как к обычной практике — надо менять всю систему; расхлябанность персонала — искать новых сотрудников; мистика — значит идти к шаманам. Возьмем пример из ближайшего прошлого: все спутники, запущенные в космос с целью исследований, упали обратно на Землю. А ведь к таким важным событиям подготовка ведется годами. Логично, что задуматься об этом стоило, когда первые три спутника никуда не улетели. Но, ничего не предприняв, мы получили еще одну трагедию. Как к этому относиться? Искать технические проблемы или увеличивать финансирование космического приборостроения? Правильно: решать проблему комплексно, а значит, и искать технические недоработки, и выделять больше денег, и увольнять недобросовестных сотрудников, и ставить более сложные задачи — сразу. Однако, опять же исходя из закона Мерфи, даже это, возможно, не даст стопроцентного результата.

Вспомним хотя бы первое следствие закона Мерфи: Все не так легко, как кажется или Всякая работа требует больше времени, чем вы думаете.

Рождение новой идеи, как правило, всегда сопровождается мнимой очевидностью ее реализации. Достаточно только дать толчок — найти менеджера, добавить денег путем взятия кредита или раскрутить сайт в Интернете. Однако стоит все провернуть — оказывается, что ничего не работает. В своей эйфории мы упускаем что-то самое важное. С другой же стороны, как только мы начинаем задумываться о грядущих проблемах, моментально теряем «чувство полета», свое вдохновение — и все останавливается махом. Поэтому добиваться своего всегда следует будучи одержимым идеей собственного неоспоримого успеха, решая проблемы по мере их поступления, помня при этом, что одной лопаты может оказаться недостаточно даже для самой маленькой ямы, если именно в этом месте лежит булыжник. Ведь согласно уже второму следствию: Из всех возможных неприятностей произойдет именно та, ущерб от которой больше . А посему готовиться всегда следует к самому худшему. Конечно, начиная бизнес, надо верить в свои силы, но понимать, что это огромный риск. И каждый 20-й случай практически всегда заканчивается неудачей, ведь что-то приобретая, ты обязательно что-то теряешь. Важно не потерять все. Поэтому не надо начинать бизнес на последние деньги. Это очень рискованно. В любом случае нужно оставить на еду и коммунальные платежи, чтобы, когда все закончится, ты мог намазать хлеб маслом. Трагедии случаются всюду, и уж гораздо более серьезного масштаба, чем просто неудачный бизнес. Как этого избежать? Не расслабляться! Вовремя просыпаться по утрам и сразу включаться в работу. Избежать спонтанных неприятностей все равно не получится, но снизить уровень их проявления можно. Делай все что угодно, только не сиди на месте! Ведь третье следствие закона Мерфи гласит: Предоставленные сами себе события имеют тенденцию развиваться от плохого к худшему. Если ты перестал управлять событиями, на которые можешь воздействовать, тенденция к ухудшению не заставит себя долго ждать. Ты организовал бизнес, и кого бы ты ни нанимал, это твой бизнес, твоя идея. Если же ты от него отстранишься, всё молниеносно пустят по ветру. С другой стороны: Всякое решение плодит новые проблемы. Как только мы начинаем что-то делать, мы создаем нечто материальное, которое имеет свойство жить своей жизнью. А значит, как маленький ребенок, оно непременно внезапно станет взрослым и закурит, хотя все детство ты пытался ему объяснить, что курение — это вред. Решение здесь только по Тарасу Бульбе: «Я тебя породил, я тебя и убью». Порой смерть бизнеса лучше, чем все попытки его сохранения. И дело может заключаться отнюдь не только в тебе, но и в том, что конкуренты оказались серьезнее и проворнее. Сейчас мы наблюдаем полнейшее крушение компании Nokia, нечто подобное уже произошло с другими фирмами, занимающимися коммуникационным оборудованием. В один прекрасный момент они упустили, что корейские фирмы занялись этим вплотную, вложили много денег и сразу наладили производство новых продуктов. А те думали, что всю жизнь будут ездить на собственном бренде. Такого не бывает. Зазнались и получили должное. Сейчас Nokia наконец-то выпустила новые мобильные телефоны, однако специалисты утверждают, что уже слишком поздно. И даже низкая цена вместе с брендом не спасет компанию. Это был шаг назад, а не вперед. Подобных примеров можно привести достаточно много.

Следует рассмотреть и другую крайность — японскую Toyota с философией кайдзен, предполагающей непрерывное совершенствование процессов производства и управления. Является ли данная практика панацеей? Вероятнее всего, нет, ведь, как известно, лучшее — враг хорошего. Каждая новая запчасть автомобиля требует установки еще двух запчастей, которые будут ее контролировать. То же и в бизнесе. Совершенствование системы подразумевает ее бесконечный рост и увеличение количества средств на обслуживание. Чем больше корпорация, тем выше ее шансы на гибель. Именно поэтому в момент кризиса мы увидели, что первыми на дно пошли самые большие «титаники», те, кто считался нерушимым. Все потому, что самое могучее и совершенное уже несовершенно тем, что оно могучее. У всех нас до сих пор лежат бабушкины мясорубки и до сих пор работают, тогда как, отдавая дань техническому прогрессу, из-за бесконечных поломок нам постоянно приходится менять электрические комбайны. Выходит, чем меньше механизм, тем менее вероятным становится проявление законов Мерфи. Ведь если весь конвейер состоит из двух узбеков, таскающих песок из одного конца двора в другой, вероятность поломки такого конвейера снижается в сотни раз, нежели если бы те же функции выполняло несколько экскаваторов.

Законы Мерфи проявляются повсюду. Лишние болтики и винтики при сборке космического корабля? Конечно же да! Откуда — вопрос другой. Очевидно, что твое творение попало либо в руки Кулибина, либо в руки разгильдяя. Но будем объективными: второй вариант встречается чаще. Однако лишние запчасти остаются у обоих. И в этом основа закона Мерфи. Передавая план каждому следующему человеку, ты каждый раз теряешь часть накопленного капитала, ведь новый человек не сможет взять твою мысль в том виде, в котором она существует в твоей голове, как бы ты ни старался. Это уже не знания того человека, а твои, переданные ему. Он все равно услышал их по-своему, и реализовывать услышанное он тоже будет по-своему, отсюда лишние детали. Второй вариант — это Кулибины, намеренно нарушающие правила на свое усмотрение, из разряда: «Я ведь не буду делать то, что я не хочу». Чисто человеческий фактор. Правила, как известно, существуют, чтобы их нарушать, и если есть возможность, то это непременно произойдет. В любом случае такие поступки совершаются от протестности. И даже если ты понимаешь, что с вероятностью 300 % после своего поступка ты вылетишь с работы, ты все равно так поступишь, получив при этом невероятный кайф. Скандал будет не напрасным, а получить за дело — всегда огромное удовольствие. Пусть даже твоя ракета и упала, но как она летела… как красиво… как по-новому… Если же рассматривать бизнес, очевидно, что это конфликт жесткой организации и построения, ведь люди не могут работать как механизмы. Люди — это люди, и чем больше сотрудников у тебя работает, тем чаще это будет случаться. Молись, чтобы ты этого не замечал, но рано или поздно кто-то все равно войдет к тебе в кабинет и скажет, как устал от системы. По правде говоря, даже наказывать таких людей бесполезно, но надо. Для них любое наказание никогда не перекроет удовольствия, которое они получили во время самого действия. Однако, грамотно разработав тактику пиара в качестве плохого примера, ты сможешь сделать это неповадным для остальных, но только до тех пор, пока в системе опять не появится несогласный. И это непременно случится в очередной раз, послужив доказательством закона Мерфи. А посему сотрудники, занимающие руководящие должности, должны быть импульсивными разгильдяями, но в то же время ответственными и дисциплинированными, ведь именно руководители чаще всего сталкиваются с действием законов Мерфи, где без умения «взмыть над ситуацией» и проявить творческий подход выкрутиться без жертв не получится. Человек должен быть невероятно креативен, должен уметь найти самое нестандартное решение и сразу же осуществить, не упираясь и не углубляясь в сложности сложившейся ситуации, откинуть привычные решения сразу и предложить свой новаторский и наиболее эффективный подход. Зачастую организация подразумевает дисциплину, но абсолютно дисциплинированный человек — просто винтик. Поэтому, подбирая человека на руководящую должность, обращайте внимание не только на тех кандидатов, которые идеально прошли все ваши тесты, но и на тех, кто не прошел, но мыслит оригинальнее многих, ведь этому не учат в школе менеджмента, это дано от Бога.

Не доводите ситуацию до абсурда. Если вы чувствуете, что двигатель начал барахлить, то «понасилуйте» его еще недельку, но потом все равно обратитесь к мастеру. Не пытайтесь поставить телегу впереди паровоза. Если ситуация уже начала развиваться в невыгодном для вас направлении — придумайте не как резко остановить поезд, а как мягко сбросить обороты, чтобы остановка была максимально мягкой. Ведь резкая остановка, как правило, всегда приводит к краху и обвалу. И наконец, если «буря» достигла невероятного масштаба, имейте смелость отказаться от бизнеса, найти в себе силы продать бизнес не за половину и даже не за четверть, а за одну десятую всей стоимости, чтобы была возможность заняться чем-то другим, если здесь у вас ничего не получилось. Вы же творческий человек, у вас деньги в руках. А деньги — это не журавль в небе и даже не синица, это деньги. Возьмите и вложите их во что-нибудь другое! В случае же если вы будете бесконечно долго тянуть резину — останетесь вообще без всего. Законы Мерфи лишь подчеркивают, что сложные ситуации были, есть и будут. И способность человека выкручиваться из сложных ситуаций — это не подготовка в бизнес-школе, а исключительно креативность его собственного ума. Встречайте бурю улыбаясь!

Беседовала Анна Саяпина

23. В ящике содержатся деталей, изготовленных на заводе 1, деталей - на заводе 2 и деталей - заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны, и. Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.

Hi- гипотеза, что деталь изготовлена на i заводе

P(Hi)-вероятность того, что деталь изготовлена на 1 заводе

24. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.

Hi-первоначально в урне i белых шаров

А- событие, сост, в том, что извлечен белый шар

25. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар - белый?

26. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го - по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно, и. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

27. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 23 белых шара, во втором - 9 белых и 14 черных шаров, в третьем - 23 черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

28. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операционистом и 47 - вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет и соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту?

n1-1-ый операционист

n2-2-ой операционист

А-событие, сост. в том, что, что потребуется помощь заведующего

29. Имеется 13 монет, из которых 3 штуки бракованные: вследствие заводского брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 9 раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

H1-монета хорошая

H2 - бракованная монета

А-событие, состю в том, что при всех бросании монета легла гербом

30. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна 0,8; ко 2-му - 0,2. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролёром равна 0,96; 2-м контролёром - 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр.

31. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс (А,B,C). Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,4;0,5 и 0,1. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира, имеющиеся в кассе билеты распроданы равны соответственно 0,4; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность того, что билет куплен. В какой из касс это могло произойти с наибольшей вероятностью?

32. В первой урне белых и черных шаров, во второй - белых и черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар, который оказывается белым. Какова вероятность того, что два шара, переложенные из второй урны в первую, были разных цветов?

Схема Бернулли. Числа. Наиболее вероятное число успехов

33. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна. Сделано выстрелов. Найдите вероятность того, что в цель попали менее трех раз.

34. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно, точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность того, что количество точек, попавших на отрезок длины будет больше или меньше.

М-событие, сост. в том, что на отрезок АС попало не менее 2 точек

М с чертой - событие, сост. в том, что попало 2 точки

Р - вероятность попадания на АС при 1 бросании

35. Вероятность попадания стрелком в цель равна. Сделано выстрелов. Определите наивероятнейшее число попаданий в цель.

Схема Бернулли. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона

36. Вероятность выпуска бракованного изделия равна. Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий ровно изделий без брака.

37. Вероятность выпуска бракованного изделия равна. Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более бракованных изделий.

38. Всхожесть семян данного растения равна. Найдите вероятность того, что из посаженных семян число проросших семян заключено между и.

39. Прядильщица обслуживает веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна. Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет более чем на веретенах.

Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна. Какова вероятность того, что на базу поступят некачественных изделия?

40. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в случаях. Определите вероятность того, что из вакцинированных детей заболеют.
2. Дискретные случайные величины

Закон распределения случайной величины

41. Случайная величина принимает только целые значения. При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность.

Независимые дискретные случайные величины

43. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
44. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
45. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
46. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
47. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: - от до, - от до. Найдите, если известно, что возможные значения и равновероятны.
48. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите.
49. Независимые случайные величины принимают только целые значения от до. Найдите вероятность, если известно, что все возможные значения равновероятны.

50. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность того, что примут разные значения.

51. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

52. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность.

53. Дискретная случайная величина принимает только целые значения, каждое с вероятностью. Найдите математическое ожидание и вероятность.

54. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение и вероятность.

56. Для случайной величины известно, что. Найдите дисперсию.

57. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и. При этом, . Найдите математическое ожидание.

59. Дискретные случайные величины распределены по закону, заданному таблицей

63. Независимые случайные величины могут принимать только значения и. При этом, . Найдите математическое ожидание.

64. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна, вероятность проигрыша рублей равна. Найдите дисперсию капитала игрока после партий.

Основные дискретные законы распределения и их характеристики

65. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина - число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.

66. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть - число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание.

Число испытаний, в которых выпало герба.

67. Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и. Найдите математическое ожидание.
68. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и. Найдите математическое ожидание.

69. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. Наудачу точек последовательно бросают на отрезок. - случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины.

70. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть - число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались. Найдите дисперсию.

71. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть - число успехов в испытаниях с номерами, - число успехов в испытаниях с номерами. Найдите дисперсию.

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

72. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина - число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

Геометрическое распределение

73. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

74. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна. Пусть - время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию.

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

75. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

76. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.
77. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию, если их математические ожидания равны, а коэффициент корреляции и равен.

78. Случайная составляющая выручки равна, где - биномиальная случайная величина с параметрами и. Случайная составляющая затрат имеет вид, где - пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и - независимы, а.

79. Для пуассоновской случайной величины отношение. Найдите математическое ожидание.

Ковариация и коэффициент корреляции

80. Даны математические ожидания случайных величин и: , их дисперсии, и ковариация Cov. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

81. Случайные величины принимают только значения и. Найдите дисперсию, если вероятности, а коэффициент корреляции и равен.
82. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии, а также коэффициент корреляции. Найдите математическое ожидание.
83. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.
84. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

85. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите, если и, а коэффициент корреляции и равен.

3. Непрерывные случайные величины

Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

86. Случайная величина имеет функцию распределения. Найдите плотность вероятности случайной величины.

87. Случайная величина имеет функцию распределения. Найдите плотность вероятности случайной величины.

88. Случайная величина имеет функцию распределения. Найдите плотность вероятности случайной величины.

89. Распределение непрерывной случайной величины задано плотностью вероятности. Найдите плотность вероятности случайной величины.
90. Случайная величина имеет плотность вероятности. Найдите плотность вероятности случайной величины.
91. Случайная величина имеет плотность вероятности Найдите константу и вероятность.

92. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид. Найдите константу и вероятность.

93. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид. Найдите константу и вероятность.

94. Плотность вероятности случайной величины имеет вид. Найдите и.

Равномерное распределение на отрезке

95. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите вероятность.

96. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите вероятность.
97. Случайные величины независимы и равномерно распределены на отрезке. Найдите математическое ожидание.

98. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке Найдите коэффициент корреляции случайных величин и

99. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите математическое ожидание.
100. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите дисперсию.
101. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите.
102. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите.
103. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин и с равномерными законами распределения: - на отрезке, - на отрезке.
104. Случайные величины и независимые и равномерно распределены на отрезках: - на отрезке, - на отрезке. Найдите.

Показательное распределение

105. Случайные величины и независимые и распределены по показательному закону, причём, . Найдите.

106. Случайные величины независимы и распределены по показательному закону. Найдите, если.

107. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание, если дисперсия.
108. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание, если дисперсия.
109. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите вероятность, если.

Нормальное распределение на прямой

110. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.

111. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и. Найдите вероятность попадания в интервал.
112. Для нормальной случайной величины известно, что математическое ожидание и вероятность Найдите дисперсию.
113. Для нормальной случайной величины известно, что дисперсия и вероятность. Найдите математическое ожидание.
114. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.

115. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин равны 1. Найдите вероятность.

116. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.
117. Для независимых нормальных случайных величин, известны их математические ожидания и дисперсии: , . Найдите вероятность.
118. Независимые нормальные случайные величины имеют одинаковые параметры: , . Для случайной величины найдите вероятность.

119. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.

120. Случайные величины и независимые и распределены по нормальному закону, причём, . Найдите.
4. Случайные векторы

Двумерные дискретные случайные векторы

121. Найдите распределение случайной величины и, если известно распределение случайного дискретного вектора:

Для случайного дискретного вектора, распределенного по закону выясните, зависимы или нет события и.

выясните, зависимы или нет события и.

125. Найдите распределение случайной величины и, если известно распределение дискретного случайного вектора:

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек - правша.

b) Определите вероятность того, что человек - левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества . Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.

Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения - это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.